معلومة

هل من الممكن اشتقاق معادلة Michaelis-Menten في ظل ظروف يكون فيها تكوين المنتج قابلاً للانعكاس

هل من الممكن اشتقاق معادلة Michaelis-Menten في ظل ظروف يكون فيها تكوين المنتج قابلاً للانعكاس


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

تستمد الكتب النصية وما إلى ذلك بشكل عام معادلة Michaelis-Menten للحالة التي لا رجعة فيها ، مثل $$ ce {E + S <=> ES -> E + P} $$ لا يمكنني رؤية كيفية القيام بذلك للحالة القابلة للعكس مثل $ $ ce {E + S <=> ES <=> E + P} ؛ $$ هل هذا ممكن؟


لا ، ليس من الممكن اشتقاق معادلة الحالة القابلة للعكس. هذا لأن معادلة Michaelis-Menten مشتقة على افتراض صريح بأن تركيز الركيزة أكبر بكثير من تركيز المنتج بحيث لا يحدث التفاعل الخلفي. هذا صحيح في بداية التفاعل في المختبر عند إضافة إنزيم إلى الركيزة الخاصة بك. في أوقات لاحقة عندما يتراكم المنتج ، لم تعد هذه الظروف قائمة وتنهار معادلة M-M.

من الممكن اشتقاق معادلة مختلفة للحالة القابلة للعكس (كما تفعل بعض الملصقات الأخرى) ولكن هذا يطرح السؤال عن أهمية معادلة Michaelis-Menten للبيولوجيا. يبدو أن الملصق يعتقد أن هذه حقيقة عالمية ، مهمة في حد ذاتها أو لأنها تمثل رد الفعل في الخلية الحية. أعتقد أن هذا يخطئ النقطة التي أعتقد أنها على النحو التالي.

  1. كان في الأصل تنبؤًا من ، ومن ثم اختبارًا ، للفرضية القائلة بأن الإنزيمات لها موقع نشط واحد ترتبط فيه الركيزة وتتحول إلى منتجات.

  2. سمح بتحديد جانبين أساسيين لنموذج الإنزيم هذا: (1) تقارب الربط بين الركيزة للموقع النشط ، مثل الكيلومتر المعكوس ، و (2) الكفاءة التحفيزية (`` الذكاء '') كرقم الدوران أو kcat ، المشتق من Vmax (وتركيز الإنزيم).

  3. يمكن استخدام ثوابت الإنزيم هذه لمعالجة الأسئلة البيولوجية ، على سبيل المثال ما إذا كان الإنزيم القادر على تفاعل معين في أنبوب الاختبار قادرًا على حساب معدلات التفاعل الملحوظة في الأنسجة. أو ما إذا كانت الركيزة التي تجد أن الإنزيم يمكن استخدامها من المرجح أن تكون الركيزة الفسيولوجية في الأنسجة.

  4. تظهر الإنزيمات التي لا تظهر حركية M-M ، مما يعني أن بعض جوانب النموذج لا تنطبق عليها. يمكن أن يكون لهذا أهمية كيميائية (حركية بينج بونج وما شابه) أو ذات أهمية فسيولوجية ، كما هو الحال في الخواص الحركية (على شكل حرف S بدلاً من المنحنى الزائدي) التي تظهر بواسطة إنزيمات متعددة الوحدات حيث تظهر الوحدات الفرعية الفردية تعاونًا ، مما يسمح تنظيم أكثر دقة.

  5. وإذا كنت تريد نمذجة التفاعلات داخل الخلايا ، فيمكن أن تكون الثوابت الحركية مفيدة. ومع ذلك ، نظرًا لأن المرء يتعامل عادةً مع سلسلة من التفاعلات في نظام مفتوح ، فإن الرياضيات معقدة (ولا علاقة لها بمعادلة تفاعل واحد قابل للعكس في أنبوب الاختبار).

سيتعرض معظم طلاب الكيمياء الحيوية (والعديد من المعلمين) لضغوط شديدة لشرح سبب وجوب تعلمهم اشتقاق معادلة Michaelis-Menten. الجواب جزئيًا بحيث يرون أنه يعتمد على نموذج معين من الإنزيم ، ولكن أيضًا بحيث يكونون على دراية بالافتراضات التي يستند إليها. ومن ثم يجب أن يدركوا أن معادلة Michaelis-Menten صحيحة فقط مبدئي معدلات التفاعل ، وإلا فإن تحديدها لـ Km و Vmax المفيد عمليًا وبيولوجيًا سيكون غير صحيح.


معادلة ميكايليس مينتين القابلة للانعكاس

تم اشتقاق معادلة الشكل القابل للانعكاس لمعادلة ميكايليس-مينتين لأول مرة بواسطة هالدين (1932 ، ص 81) ، والشكل الموضح في Eqn (1) تم تقديمه لأول مرة بواسطة بيلر وألبرتي (1953).

$$ v = {{{V_ {max} ^ f} over {K_ {m} ^ s}} s - {{V_ {max} ^ r} over {K_ {m} ^ p}} p} أكثر من {1 + {{s} أكثر من {K_ {m} ^ s}} + {{p} أكثر من {K_ {m} ^ p}}}} (1) $ $

  • $ v $ هي السرعة
  • $ s $ هو تركيز الركيزة
  • $ p $ هو تركيز المنتج
  • $ K_ {m} ^ s $ هو ثابت Michaelis لـ $ s $
  • $ K_ {m} ^ p $ هو ثابت Michaelis لـ $ p $
  • $ V_ {max} ^ f $ هي السرعة القصوى في الاتجاه "الأمامي"
  • $ V_ {max} ^ r $ هي السرعة القصوى في الاتجاه "العكسي"

يعطي ضبط $ p $ على الصفر الصيغة الأكثر شيوعًا لمعادلة Michaelis-Menten (حيث $ v_i $ هي السرعة الابتدائية الآن)

$$ v_i = {{V_ {max} ^ f} s} أكثر من {K_ {m} ^ s + s}} (2) $$

اشتقاق قانون السعر

كيف يمكن اشتقاق Eqn (1)؟

تم القيام بذلك بواسطة (من بين آخرين) Cornish-Bowden (2004 ، ص 48-52) ، والاشتقاق الوارد أدناه يتبع هذا المصدر عن كثب (مع بعض المساعدة من Wolfram Mathematica).

لنفكر في الشكل التالي لآلية الإنزيم أحادية المنتج أحادية المنتج القابلة للانعكاس

قد ترتبط الركيزة $ s $ بشكل عكسي بـ $ E $ (الإنزيم "الحر") لإعطاء $ ES $. يمكن تحويل هذا بدوره بشكل عكسي إلى $ EP $ ، ويعيد التفكك العكسي للمنتج الشكل الأصلي للإنزيم "الحر" مع $ p $.

تسمى المجمعات $ ES $ و $ EP $ أحيانًا باسم `` المجمعات المركزية ''

ومع ذلك ، من أجل تبسيط الجبر ، سأشتق قانون المعدل للآلية المبسطة (وغير الواقعية) التالية التي تحتوي على مجمع مركزي واحد.

يجب أن نكون حذرين للغاية هنا. لن يغير هذا الافتراض المبسط الشكل العام لـ ثابت حركي شكل قانون المعدل ، أي الآلية (3) و (4) ستؤدي إلى Eqn (1) ، ولكن سيجعل تعريف الثوابت الحركية أبسط.

يجب ألا نفترض أن هذه التعريفات المبسطة تنطبق بالضرورة على أي حالة واقعية. تعريفات $ V_ {max} ^ f $ (Eqn 10) و $ V_ {max} ^ r $ (Eqn 11) ، على سبيل المثال ، تحتوي على ثابت معدل واحد ولكن تلك الخاصة بآلية Eqn (3) أكثر تعقيدًا (مكافئ 15 و 16).

وبالتالي فإن عبارات مثل "لوحدة تركيز الإنزيم ، $ k_ {3،2} $ تساوي السرعة القصوى في الاتجاه الأمامي" محفوفة بالصعوبات. (ربما يكون من الصحيح القول ، على الأقل بالنسبة لنوع الآليات المذكورة هنا ، أنه "بالنسبة لتركيز إنزيم الوحدة ، لا يمكن أن تتجاوز السرعة القصوى $ k_ {3،2} $").

لكننا نستطرد. دعنا نعود إلى الاشتقاق.

  • دع $ e_o $ هو إجمالي تركيز الإنزيم
  • دع $ x $ يساوي تركيز $ ES $
  • لذلك يكون تركيز $ E $ ($ e_o $ - $ x $)

بالإضافة إلى ذلك ، دعنا نضع افتراضين أساسيين (انظر هنا لتوضيح طريقة الحالة المستقرة في حركية الإنزيم).

  • بعد وقت قصير جدًا من بدء التفاعل ، يتم إنشاء حالة مستقرة بحيث يكون معدل تكوين $ x $ يساوي معدل انهيار $ x $. هذا هو افتراض الحالة المستقرة. (ما يحدث في فترة ما قبل حالة الاستقرار لا يهمنا هنا).
  • تركيز $ e_o $ منخفض جدًا بحيث يمكن تجاهل تشكيل $ ES $ و $ EP $ في حساب تركيزات الركيزة والمنتج (وهذا أيضًا يبسط الجبر بشكل كبير)

يمكن الآن كتابة المعادلة التفاضلية التالية ، التي تصف معدل انهيار $ x $:

$$ {dx over dt} = {k_ {1،2} (e_o -x) s + k_ {3،2} (e_o -x) p - (k_ {2،1} + k_ { 2،3}) x = 0} (5) $$

دعنا نحل قيمة $ x $. سأكون كسولاً هنا وأسمح لـ Wolfram Mathematica بالقيام بهذا العمل.

(يمكن العثور على نسخة أكثر تفصيلاً من دفتر Mathematica هنا).

ينتج الأمر أعلاه الإخراج التالي (ما مدى روعة ذلك؟)

الآن دعونا نحدد معادلة السرعة بدلالة $ x $ ، مع مراعاة رد الفعل العكسي

$$ {dp over dt} = {k_ {1،2} x - k_ {3،2} (e_o -x) p} (6) $$

نحتاج الآن إلى التعويض عن $ x $ في المعادلة أعلاه. مرة أخرى ، باستخدام Mathematica

باستخدام الاستبدال

يتم الحصول على الإخراج التالي:

هذا هو معدل ثابت يمكن التعبير عن شكل قانون المعدل على النحو التالي:

$$ {dp over dt} = {{(k_ {1،2} k_ {2،3} s - {k_ {2،1} k_ {3،2} p) e_o}} أكثر من {{k_ {1،2} s} + k_ {2،1} + k_ {2،3} + {k_ {3،2} p}}} (7) $ $

"الحيلة" الآن هي تحديد الثوابت الحركية بطريقة أكثر فائدة ثابت حركي يمكن الحصول على شكل من أشكال قانون المعدل.

دعنا نحدد الثوابت الحركية على النحو التالي

$$ K_ {m} ^ s = {{k_ {2،1} + k_ {2،3}} أكثر من {k_ {1،2}}} (8) $$

$$ K_ {m} ^ p = {{k_ {2،1} + k_ {2،3}} أكثر من {k_ {3،2}}} (9) $$

$$ k_ {cat} ^ f = {{V_ {max} ^ f} over {e_o}} = k_ {2،3} (10) $$

$$ k_ {cat} ^ r = {{V_ {max} ^ r} over {e_o}} = k_ {2،1} (11) $$

ينتج عن قسمة المعادلة (7) "أعلى وأسفل" على ($ {k_ {1،2} + k_ {2،3}} $) التعبير التالي:

يؤدي استبدال قيم الثوابت الحركية في التعبير أعلاه منطقيًا إلى ما يلي ثابت حركي شكل قانون المعدل:

$$ v = {{({{k_ {cat} ^ f} over {K_ {m} ^ s}} s - {{k_ {cat} ^ r} أكثر {K_ {m} ^ p} } p) e_o} أكثر من {1 + {{s} over {K_ {m} ^ s}} + {{p} over {K_ {m} ^ p}}}} (12) $$

الثوابت الحركية لآلية أكثر واقعية

تعريف الثوابت الحركية للآلية الأكثر واقعية لـ Eqn (3) هي كما يلي: (انظر هنا للحصول على اشتقاق Mathematica).

بشكل عام ، قد تؤدي الآليات المختلفة إلى ظهور قانون معدل مماثل.

ستؤدي الآلية التالية أيضًا إلى ظهور Eqn (1).

في الواقع ، فإن إضافة أي عدد من المجمعات المركزية إلى آلية Eqn (3) سيؤدي إلى قانون معدل في شكل Eqn (1).

امتداد لآلية ميكايليس مينتين

هنا آلية متعود تؤدي إلى قانون معدل كما هو موضح في Eqn (1):

في الآلية المذكورة أعلاه ، يختلف شكل الإنزيم "الحر" الناتج عند إطلاق المنتج ($ F $) عن الشكل الذي يتحد مع الركيزة ($ E $) ، ويؤكد أننا قد نحتاج إلى أخذ التحويل البيني في الاعتبار في أي وصف كامل للركيزة المفردة ، والإنزيم أحادي المنتج (انظر Taraszka & Alberty ، 1964).

يحتوي قانون المعدل لهذه الآلية على ثابت حركي إضافي ، يسمى هنا $ K_ {sp} $ $$ v = {{({{k_ {cat} ^ f} over {K_ {m} ^ s}} s - {{k_ {cat} ^ r} over {K_ {m} ^ p}} p) e_o} أكثر من {1 + {{s} over {K_ {m} ^ s}} + {{ p} أكثر من {K_ {m} ^ p}} + {{sp} over {{K_ {sp}}}}}} (19) $$

يمكن أن تصف هذه الآلية ، على سبيل المثال ، النقل الغشائي حيث يمثل $ F $ الحامل داخل الغشاء ويمثل $ E $ الحامل في الخارج. ولكنه يمكن أن ينطبق أيضًا على أي إنزيم وحيد المنتج أحادي الركيزة. هذا يؤكد مرة أخرى على خطر المبالغة في التبسيط.

تمت مراجعة قانون معدل Eqn (19) جيدًا بواسطة Darvey (1972) ، وقوات الدفاع الشعبي متاحة مجانًا للجميع.

افكار اخيرة…

مع زيادة عدد أنواع الإنزيم ، يصبح الحصول على شكل المعدل الثابت لقانون المعدل أمرًا صعبًا ، حيث تتراكم المعادلات بسرعة كبيرة في العديد من المصطلحات. قبل أيام الرياضيات وما شابه ، استخدم علماء الإنزيمات الطريقة التخطيطية لكينج وألتمان (1956) ، أو أحد متغيراتها العديدة ، للحصول على شكل المعدل الثابت لقانون المعدل.

إذن ما هي مزايا اشتقاق الصيغة الثابتة الحركية لقانون المعدل الكامل؟

  • إذا كان رد الفعل قابلاً للعكس بشكل واضح ، فقد يتم دراسته في كلا الاتجاهين

  • بالنسبة للإنزيم متعدد الركائز ، تتم كتابة معادلات تثبيط المنتج بسهولة.

  • يسمح بعلاقة (أو علاقات) بين الثوابت الحركية وثابت التوازن ليتم الحصول عليها. بالنسبة إلى آلية Michaelis-Menten القابلة للعكس لـ Eqns (3) و (4) ، تكون علاقة Haldane كما يلي:

$$ K = {{k_ {cat} ^ f k_ {m} ^ p} over {k_ {cat} ^ r k_ {m} ^ s}} (20) $$

حيث $ K $ هو ثابت التوازن للتفاعل (هالدين ، 1930)

مراجع

  • كوك ، ب. & كليلاند ، دبليو دبليو (2007) حركية الإنزيم وآلية علوم جارلاند.
  • كورنيش بودين (2004) أساسيات حركية الإنزيم 3rd Edn. مطبعة بورتلاند (لندن)
  • Darvey، I.G. (1972) تطبيق دراسات تثبيط المنتج على التفاعلات الأنزيمية ذات الركيزة الواحدة لمنتج واحد. Biochem J. 128 ، 383 - 387 [pdf]
  • هالدين ، جيه بي إس (1930) الانزيمات لونغمانز (لندن)
  • King، E.L & Altman، C. (1956). طريقة تخطيطية لاشتقاق قوانين معدل التفاعلات المحفزة بالإنزيم. J. فيز. تشيم. 60, 1375 - 1378
  • بيلر ، إل وألبرتي ، آر إيه (1959). وسائط متعددة في حركية إنزيم الحالة المستقرة. I. الآلية التي تنطوي على ركيزة واحدة ومنتج. جيه. تشيم. شركة. 81, 5907 - 5915
  • سيجل ، آي إتش (1975) حركية الإنزيم. سلوك وتحليل أنظمة التوازن السريع والحالة المستقرة وايلي

  • Taraszka ، M. & Alberty ، R.A (1964). تمديدات قانون معدل الحالة المستقرة لتفاعل فوماراس. J. فيز. تشيم. 68, 3368 - 3373.


اشتقاق المعادلة التي ذكرها TomD في التعليقات:

$$ v = {{{V_ {s} ^ f} [s] over {K_ {m} ^ s}} - {{V_ {p} ^ f} [p] over {K_ {m} ^ p}}} أكثر من {1 + {{[s]} أكثر من {K_ {m} ^ s}} + {{[p]} أكثر من {K_ {m} ^ p}}}} $$

يمكن العثور عليها هنا. تفترض هذه الصيغة رد فعل من ثلاث خطوات. تستخدم هذه المعادلة المنتج كمتغير في المعادلة. من الناحية المثالية ، نظرًا لعدم وجود تكوين / تدهور للمواد المتفاعلة / المنتجات (نظام مغلق) ، يمكن تمثيل المنتج كدالة للمتغيرات الأخرى ($ ce {[S0] - [ES] - [S]} $) . باختصار ، يمكن تمثيل معدل تكوين المنتج كدالة لتركيز الركيزة.

ما سأعرضه ليس اشتقاقًا كاملاً بل طريقة واحدة يمكنك البدء بها.

لهذا التفاعل القابل للانعكاس المكون من خطوتين:

$$ ce {E + S <=> [k_1] [k_2] I <=> [k_3] [k_4] E + P} $$

سيكون لديك نظام ODE:

$ dfrac {d ce {[E]}} {dt} = - k_1 ce {[E] [S]} + (k_2 + k_3) ce {[I]} -k_4 ce {[E] [P]} dfrac {d ce {[I]}} {dt} = quad k_1 ce {[E] [S]} - (k_2 + k_3) ce {[I]} + k_4 ce {[E] [P]} dfrac {d ce {[S]}} {dt} = -k_1 ce {[E] [S]} + k_2 ce {[I]} dfrac {d ce {[P]}} {dt} = -k_4 ce {[E] [P]} + k_3 ce {[I]} $

بافتراض QSSA لـ $ ce {[I]} $ (وبالتالي أيضًا $ ce {[E]} $) وإعداد $ ce {[E]} = ce {[E0] - [I]} $، ستحصل على:

$$ ce {[I]} = frac { ce {[E0]} (k_1 ce {[S]} + k_4 ce {[P]})} {k_2 + k_3 + k_1 ce {[ S]} + k_4 ce {[P]}} $$

نظرًا لأن $ ce {[P]} = ce {[S0] - [I] - [S]} $ ، فإن معادلة $ ce {[I]} $ الموضحة أعلاه ، ستصبح تربيعية عند استبدال هذه العلاقة . يمكن توصيل هذا التعبير أخيرًا في ODE الرابع للحصول على التعبير الخاص بمعدل تكوين المنتج ، من حيث الركيزة تمامًا.

إذا احتفظت بالمنتج كمتغير ، فيمكنك استبدال التعبير أعلاه بـ $ ce {[I]} $ في ODE الرابع.

$$ V = -k_4 ce {[P]} left ( ce {[E0]} - frac { ce {[E0]} (k_1 ce {[S]} + k_4 ce {[P ]})} {k_2 + k_3 + k_1 ce {[S]} + k_4 ce {[P]}} right) + k_3 frac { ce {[E0]} (k_1 ce {[S] } + k_4 ce {[P]})} {k_2 + k_3 + k_1 ce {[S]} + k_4 ce {[P]}} $$

ستؤدي بعض عمليات إعادة الترتيب الجبرية إلى:

$$ V = ce {[E0]} frac {k_3k_1 ce {[S]} + k_4k_2 ce {[P]}} {k_2 + k_3 + k_1 ce {[S]} + k_4 ce { [P]}} $$

ينتج عن قسمة كل من البسط والمقام على $ k_2 + k_3 $:

$$ V = ce {[E0]} frac { frac {k_3k_1} {k_2 + k_3} ce {[S]} + frac {k_4k_2} {{k_2 + k_3}} ce {[P] }} {1+ frac {k_1} {k_2 + k_3} ce {[S]} + frac {k_4} {k_2 + k_3} ce {[P]}} $$

هذا هو شكل المعادلة التي ذكرها TomD (فقط قم بإنشاء ثوابت جديدة من القديمة).

لمزيد من التفاصيل ، ألق نظرة على هذه الورقة من قبل Keleti [1] والأوراق الأخرى التي استشهدت بها.


[1] Keleti ، T. "قاعدتان من حركية الإنزيم لآليات ميكايليس ‐ مينتين القابلة للعكس." رسائل FEBS 208.1 (1986): 109-112.


الكيمياء الحيوية: معادلة ميكايليس-مينتين

بالنسبة لتفاعل محفز إنزيم معين ، يكون ثابت ميكايليس 0.6 ملي مولار وتركيز الركيزة 1.0 ملي مولار. ما هو التشبع الجزئي للإنزيم في ظل هذه الظروف؟

يتم تعريف التشبع الجزئي للإنزيم على أنه مقدار الإنزيم المرتبط بالركيزة مقسومًا على الكمية الإجمالية للإنزيم. لحساب التشبع الكسري ، سنحتاج إلى استخدام معادلة Michaelis-Menton:

بالإضافة إلى ذلك ، سنحتاج إلى تحديد المعدل والمعدل الأقصى من حيث تركيزات الإنزيم:

من المعادلات أعلاه ، يمكننا حساب التشبع الجزئي للإنزيم:

مثال السؤال رقم 1: معادلة ميكايليس مينتين

أي مما يلي ينطبق على ثابت ميكايليس لأي إنزيم معين؟

إنها مستقلة عن نوع الركيزة

يزداد مع انخفاض خصوصية الإنزيم للركيزة

أيا من الإجابات الأخرى صحيحة

يزداد مع انخفاض تقارب الإنزيم مع الركيزة

يزداد مع انخفاض تقارب الإنزيم مع الركيزة

لا يساوي ثابت ميكايليس تركيز الركيزة ، بل هو بالأحرى تركيز الركيزة عندما يكون معدل التفاعل. هو مقياس عكسي لتقارب الركيزة للإنزيم. لذلك كلما قل التقارب ، يزداد. تُقاس خصوصية الإنزيم بثابت مختلف ، وهو ثابت الخصوصية. على الرغم من أن الخصوصية في علاقة تناسبية عكسية ، إلا أنها لا تزداد بالضرورة مع انخفاض الخصوصية بدلاً من ذلك ، والمعروف أيضًا باسم الثابت التحفيزي ، يمكن أن ينخفض ​​بشكل متناسب بالنسبة لإنزيم معين. ثابت ميكايليس ، كونه مقياسًا للتقارب ، سيختلف باختلاف أنواع الركائز ، اعتمادًا على شكلها والسمات الأخرى التي تؤثر على قدرتها على الارتباط بالإنزيم.

مثال السؤال رقم 1: معادلة ميكايليس مينتين

ما هي نسبة متى؟

تمت الإجابة على هذا السؤال باستخدام معادلة Michaelis-Menten:

أعد ترتيب المعادلة لإيجاد نسبة الفائدة.

مثال السؤال رقم 1: معادلة ميكايليس مينتين

ماذا يفترض نموذج Michaelis-Menten؟

يتحلل مركب الركيزة الإنزيمية إلى المنتج فقط

قد لا تكون خطوة تحديد المعدل موجودة

لم يتم تشكيل أي وسيط

لا توجد تفاعلات محفزة بالإنزيم

الإنزيم ، الركيزة ، ومركب الركيزة الإنزيمية في حالة توازن

الإنزيم ، الركيزة ، ومركب الركيزة الإنزيمية في حالة توازن

في هذا النموذج ، يتم تكوين وسيط عندما ترتبط الركيزة بإنزيم. يتحلل الوسيط إلى إنزيم ومنتج ، وليس المنتج وحده. يتطلب النموذج تفاعلات محفزة بالإنزيم تتضمن خطوة تحديد معدل لمركب الركيزة الإنزيمية الذي يتحلل إلى الإنزيم والمنتج.

مثال السؤال رقم 5: معادلة ميكايليس مينتين

اعطاء انزيم 0.5 ملي مولار. في أي تركيز الركيزة سوف تصل سرعة الإنزيم إلى؟

لحل هذا ، نحتاج إلى الحل في معادلة Michaelis-Menten:

نحن نعلم المعلومات التالية:

عوّض عن هذه الأرقام وحلّ من أجل تركيز الركيزة.

مثال السؤال رقم 1: معادلة ميكايليس مينتين

افترض أن خليط الإنزيم يحتوي على إنزيم مع ثابت michaelis. إذا كان تركيز الركيزة في هذا الخليط هو التشبع الجزئي لخليط الإنزيم هذا؟

يطلب منا هذا السؤال تحديد التشبع الجزئي لمحلول يحتوي على إنزيم وركيزة. لنبدأ بالنظر في ما لدينا وما نحاول إيجاد حل له.

نحن نعلم أن تركيز الركيزة هو ونعلم أيضًا أن هذا الإنزيم يحتوي على ثابت ميكايليس.

أيضًا ، دعنا نفكر في ماهية التشبع الجزئي. يشير التشبع الجزئي إلى نسبة جزيئات الإنزيم في المحلول المرتبط بالركيزة. يمكن أن تتراوح هذه القيمة من (جميع الإنزيمات غير مرتبطة بالركيزة) إلى (جميع الإنزيمات مرتبطة أو مشبعة بالركيزة).

لذلك ، نحن نتطلع إلى حساب عدد مجمعات الركيزة الإنزيمية مقسومًا على إجمالي كمية الإنزيم في المحلول ، والتي يمكننا التعبير عنها كـ. يمكننا أيضًا ربط هذه المصطلحات بالمعادلات التالية.

بقسمة هذه المعادلة على بعضها البعض نحصل على:

علاوة على ذلك ، يمكننا ربط هذه المصطلحات من خلال النظر في معادلة Michaelis-Menten:

ودمج كل ما فعلناه حتى الآن ، لدينا:

وبالتعويض بالقيم ، يمكننا حل:

مثال السؤال رقم 7: معادلة ميكايليس مينتين

أي مما يلي خاطئ في معادلة ميكايليس مينتين؟

تتناسب السرعة مع تركيز الركيزة.

تتناسب السرعة مع رقم الدوران.

تتناسب السرعة عكسيا مع تركيز الانزيم.

يتم الوصول إلى أقصى معدل للتفاعل مع زيادة تركيز الركيزة إلى أجل غير مسمى.

السرعة تتناسب مع تركيز الانزيم.

تتناسب السرعة عكسيا مع تركيز الانزيم.

يمكن التعبير عن معادلة Michaelis-Menten على النحو التالي:

وبالتالي فإن السرعة تتناسب طرديًا مع تركيز الإنزيم ، وليس عكسًا. يشار إليه أيضًا باسم رقم الدوران. مع استمرار زيادة تركيز الركيزة ، فإننا ننتهي في حالة ثابتة يكون فيها كل الإنزيم مرتبطًا. في هذه المرحلة ، تم الوصول إلى السرعة القصوى.

مثال السؤال رقم 8: معادلة ميكايليس مينتين

الإنزيم ذو القيمة له معدل تفاعل عند تركيز الركيزة. ما هو الحد الأقصى لمعدل التفاعل الذي يمكن أن يحققه هذا الإنزيم عندما يكون مشبعًا بالركيزة؟

بالنسبة لهذا السؤال ، تم تزويدنا بثابت michaelis للإنزيم ، وكذلك معدل التفاعل لهذا الإنزيم عند تركيز ركيزة معين. يُطلب منا تحديد الحد الأقصى لمعدل التفاعل الذي يمكن أن يحققه هذا الإنزيم عندما يكون مشبعًا بالركيزة.

لحل هذه المشكلة ، سنحتاج إلى استخدام معادلة michaelis-menten ، والتي يتم التعبير عنها على النحو التالي.

بعد ذلك ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة أعلاه لعزل المصطلح.

يمكننا الآن التعويض بالقيم المعطاة لنا في جذع السؤال لإيجاد إجابتنا.

مثال السؤال رقم 9: معادلة ميكايليس مينتين

أي مما يلي سيزيد من معدل تفاعل التفاعل الإنزيمي؟

ط. إضافة مثبط تنافسي

II. زيادة تركيز الركيزة

ثالثا. تقليل ألفة الركيزة للإنزيم

يمكن حساب معدل رد الفعل للتفاعل الأنزيمي باستخدام معادلة Michaelis-Menten.

أين هو معدل التفاعل ، هو أقصى معدل للتفاعل ، هو تركيز الركيزة وهو ثابت ميكايليس.

تذكر أن إضافة مثبط تنافسي سيزيد من قيمة. من المعادلة ، يمكننا أن نرى أن الزيادة ستقلل من معدل التفاعل ، وبالتالي فإن إضافة مثبط تنافسي سيقلل من معدل التفاعل.

تم العثور على تركيز الركيزة في كل من البسط والمقام في المعادلة ، ومع ذلك ، يتم ضرب تركيز الركيزة في البسط بينما يتم إضافته في المقام. هذا يعني أن زيادة تركيز الركيزة ستزيد البسط أكثر من المقام ، وبالتالي فإن زيادة تركيز الركيزة ستزيد من معدل التفاعل.

يتم تحديد التقارب بين الإنزيم والركيزة بواسطة. يُعرَّف هذا الثابت بأنه تركيز الركيزة المطلوب للوصول إلى نصف. يشير التخفيض إلى أن هناك حاجة إلى تركيز أقل من الركيزة للوصول إلى النصف نفسه (هناك حاجة إلى تركيز أقل من الركيزة لأن التقارب بين الإنزيم والركيزة يزداد ويتم إجراء تفاعل أكثر كفاءة). هذا يعني أن الخفض يزيد من التقارب بين الركيزة والإنزيم وبالتالي فإن التقارب مرتبطان عكسيًا. سيؤدي تقليل الألفة إلى زيادة معدل التفاعل وبالتالي تقليله.

مثال السؤال رقم 1: معادلة ميكايليس مينتين

ما هو الحد الأقصى لمعدل التفاعل إذا كان إضافة الركيزة ينتج عنه معدل تفاعل؟

لا يمكن تحديدها من المعلومات المقدمة

الحيلة في هذا السؤال هي ملاحظة أن تركيز الركيزة هو نفسه. تذكر أن هذا هو تركيز الركيزة المطلوب للوصول إلى نصف معدل التفاعل الأقصى. نظرًا لأن تركيز الركيزة هو نفسه ، يمكننا أن نستنتج أن معدل التفاعل هذا هو نصف معدل التفاعل الأقصى ، وبالتالي فإن معدل التفاعل الأقصى هو.

جميع موارد الكيمياء الحيوية

الإبلاغ عن مشكلة مع هذا السؤال

إذا وجدت مشكلة تتعلق بهذا السؤال ، فيرجى إخبارنا بذلك. بمساعدة المجتمع يمكننا الاستمرار في تحسين مواردنا التعليمية.


هل من الممكن اشتقاق معادلة Michaelis-Menten في ظل ظروف يكون فيها تكوين المنتج قابلاً للانعكاس - علم الأحياء

Km on & ndash يمكنك & rsquot أن تعتقد حقًا أنه يمكنني التحدث عن الإنزيمات بدون Menten-ing ENZYME KINETICS ، أليس كذلك؟ من الليزوزيم البطيء ، الذي يستغرق ثانيتين كاملتين لقطع البروتين ، إلى أنهيدراز الكربونيك سريع الذوبان ، والذي يمكن أن يجمع بين ثاني أكسيد الكربون والماء لصنع حمض الكربونيك وندش أو القيام بالعكس & ndash 1 مليون مرة في الثانية (10) أسرع بملايين المرات مما سيحدث بمفرده) ، أنا أحبهم جميعًا. ولا يمكن أن تكتمل أي رسالة حب لهذه الأجزاء العلوية من التفاعلات الكيميائية الحيوية المدهشة - الأسرع - بدون مناقشة مدى السرعة التي يمكن أن تتحرك بها ، وما الذي يحدد هذه السرعة ، وكيف يمكننا قياسها. نراجع اليوم ، ثم ننتقل من الديناميكا الحرارية لننظر إلى السؤال القديم: كم عدد العصي التي يمكن أن ينكسرها العصا النهاش إذا كان بإمكان عصا النهاش أن تقطع العصي؟ ولفعل هذا نحتاج إلى الخواص الحركية!

يمكنك معرفة المزيد عن الإنزيمات في منشور أمس & rsquos: http://bit.ly/2r7x40l

لكن إنزيمات ndash عبارة عن محفزات كيميائية حيوية & ndash محفزات هي أشياء تسرع التفاعلات دون استخدامها في العملية (لذلك بمجرد أن تقوم بتسريع تفاعل واحد يمكنها تسريع تفاعل آخر ثم آخر ثم آخر) & ndash يمكنك العثور على محفزات في كل مكان المكان & ndash حتى في سياراتك (المحول الحفاز يرن الجرس؟) & ndash و & ldquoenzyme & rdquo هو الاسم الذي نطلقه على المحفزات التي نجدها في أجسامنا.

عادة ما تكون الإنزيمات عبارة عن بروتينات ، وأحيانًا معقدات بروتينية / رنا ، وأحيانًا مجرد رنا. إنها تساعد في حدوث تفاعلات كيميائية حيوية - كل شيء بدءًا من تقسيم الجزيئات (على سبيل المثال ، تكسير السكر إلى أجزاء أصغر للحصول على الطاقة) إلى تجميع الجزيئات معًا (على سبيل المثال ، فواصل ختم DNA ligase في خيوط DNA) إلى جزيئات ldquoshifting و rdquo (مثل مجمعات إعادة تشكيل الكروماتين التي تحول بروتينات الهيستون DNA ملفوف حوله (لتوفير المساحة) من أجل الكشف عن المناطق المراد قراءتها).

على الرغم من أن هذه العمليات يمكن أن تكون معقدة للغاية وتتطلب الكثير من التنسيق ، إلا أنها جميعًا * يمكن * تحدث بدون إنزيمات & ndash لأن لديهم الكيمياء الحيوية & ldquodrive & rdquo للقيام بذلك. سيكون من غير المحتمل حدوثها لأنك و rsquod يجب أن تصطدم الجزيئات المتجولة بحرية في الاتجاه الصحيح فقط مع الظروف المناسبة ، وما إلى ذلك.

هذا الكيمياء الحيوية و ldquodrive & rdquo هو تغيير سلبي في الطاقة الحرة (G). أحب أن أفكر في G على أنه جزيئي & ldquocomfiness & rdquo & ndash تخيل أنك & rsquore تلتقط صورة & ndash يتطلب الأمر طاقة لتحمل وضعًا محرجًا (الجزيئات غير المريحة لها نسبة G عالية) بينما يمكنك الاسترخاء إذا كانوا يريدون فقط صورة صريحة (الجزيئات المريحة منخفضة ز). أنا لا أعرف عنك & rsquot ، لكني أكره أولئك الذين يقولون صور الجبن & ndash أفضل أن أكون مرتاحًا.

والجزيئات أيضًا. لذا فهم يتفاعلون ويتفاعلون بطرق تجعلهم في وضع أكثر راحة (G أقل) - وتكون تفاعلات gt مواتية بقوة إذا كان المنتج (المنتجات) P لديه طاقة حرة أقل (G أقل) من المتفاعلات (R) ، ويمكننا ذلك نسمي هذا الاختلاف في الطاقة الحرة بين المنتجات والمتفاعلات & DeltaG (يتم نطق & Delta & ldquodelta & rdquo وهذا يعني & ldquochange in & rdquo). مع التفاعلات المحفزة بالإنزيم ، عادة ما نطلق على المواد المتفاعلة SUBSTRATES (S) & ndash كما في ، & ldquothing & rdquo عبارة عن ركيزة لإنزيم ldquocool. & rdquo حتى نتمكن من كتابة رد الفعل الكلي كـ

ليست كل ردود الأفعال سلبية و DeltaG ، لكن يمكنك ربط ردود الفعل غير المواتية بالردود المفضلة لإنجاز المهمة. هذا هو أحد الأسباب التي تجعل بعض الإنزيمات تستخدم ATP & ndash splitting ATP الكثير من الطاقة & ndash وإذا كان تقسيم ATP & amp ؛ يحدث التفاعل غير المواتي يحدث معًا في نفس الإنزيم ، يمكن استخدام تلك الطاقة لتشغيل غير المواتي.

حتى عندما يكون التفاعل مفضلًا حقًا - تكون المنتجات أكثر راحة من المواد المتفاعلة ، لذلك هناك & rsquos سلبي للغاية و DeltaG ، غالبًا ما يتعين عليه الانتقال إلى حالة غير مريحة حقًا للوصول إلى هناك & ndash نسمي هذا غير مريح (أعلى طاقة) حالة الانتقال (& # 10727). تخيل أنك & rsquore تحاول قطع العصا إلى نصفين (من أجل التشبيه ، تخيل أنها & rsquos مثقبة في الوسط بحيث لا يوجد سوى نقطة توقف واحدة ممكنة). لذلك تبدأ في ثني العصا وتزداد صعوبة الأمر وستكون نقطة الانتقال هي تلك اللحظة المتوترة حقًا قبل أن تنكسر العصا (إذا كنت تعتقد أن ذراعيك مؤلمتان ، فتخيل كيف تشعر العصا!). في هذه الحالة الانتقالية (TS) ، يحتضن الإنزيم أضيق الركيزة & ndash ، وبالتالي فإنه يجذب الركيزة إلى تبني هذا الموقف المحرج & ndash عدم الراحة حيث يتم تعويض الركيزة & ldquobends & rdquo بالتفاعلات الإيجابية مع الإنزيم الذي يسمح الانحناء به.

يمكننا تحديد التغيرات في الطاقة على مدار التفاعل باستخدام مخطط تنسيق رد الفعل. يذكرني بقوس قزح على شكل حلوى قصب مع قدر من الذهب في الأسفل & ndash عليك تجاوز قوس قزح قبل أن تتمكن من الوصول إلى الذهب. الجزء العلوي من قوس قزح هو طاقة الحالة الانتقالية والطاقة المطلوبة للوصول إلى هناك هي طاقة التنشيط. توفر الإنزيمات حالة انتقالية بديلة مع & ldquoshorter rainbow & rdquo & ndash تعني طاقة حالة انتقالية أقل طاقة تنشيط أقل ، لذلك هناك حاجز أقل لحدوث التفاعل. ولكن نظرًا لأن نقطتي البداية والنهاية هي نفسها ، فإن إجمالي & DeltaG للتفاعل هو نفسه بغض النظر عما إذا كان & rsquos محفزًا بالإنزيم أم لا.

عندما يكون لديك كمية مثل هذه حيث تهتم فقط بالبداية والنهاية & ldquostates وليس المسار الذي تم اتخاذه ، فإننا نسميها خاصية & ldquostate. لا & rsquot يغير ذلك الدافع & ndash لا & rsquot يختار ما إذا كان التفاعل سيحدث أم لا ، وعندما تخفض الحاجز ، تسهل عليك & ldquogo للخلف & rdquo أيضًا ، لذلك لا تغير الإنزيمات ثوابت التوازن & ndash إذا بدأت بنفس الكمية المتفاعلة في النهاية تصل إلى نفس الكمية من المنتج الذي تم تكوينه (حتى لو كان عليك الانتظار لمليارات السنين) لكنها تؤثر على معدلات التفاعل - لذا لا يتعين عليك الانتظار بلايين السنين & - ولكن كم من الوقت عليك الانتظار؟ لمعرفة ذلك ، ننتقل من مادة الديناميكا الحرارية التي تحدثنا عنها والتي تتعامل مع تفضيل التفاعل على الحركية ، والتي تتعامل مع السرعات (سرعة التفاعل ، v).

رد فعل & rsquos فقط بأسرع خطوة أبطأ ، ويمكنك تقسيم رد الفعل إلى بضع خطوات: ربط (E + S & # 8652 ES) ، وتغيير (ES & # 8652EP) ، وإطلاق أمبير (EP & # 8652E + P). من أجل البساطة و rsquos من أجل ، دع & rsquos نقول أن رد الفعل و rsquos مناسب حقًا ، لذا فمن غير المرجح حقًا أن يسير في الاتجاه العكسي (لن تقوم أنت & rsquos بتغيير المنتج إلى ركيزة). (حتى إذا كان رد الفعل يتراجع ، إذا قمت بقياس الخواص الحركية في البداية ، فعندما لا يكون هناك أي منتج يتم إرجاعه إلى الركيزة ، يمكنك تجاهل العكس). ثم يمكننا إزالة اثنين من تلك الأسهم للخلف حتى يكون لدينا

ربط (E + S & # 8652 ES) ، وتغيير (ES- & gtEP) ، وإصدار أمبير (EP- & gtE + P)

يمكنك أن ترى أنني لم & rsquot أخذ هذا السهم للخلف الأول لأن خطوة الربط لا تزال قابلة للعكس & ndash وأي طريقة يكمن فيها التوازن (E + S أو ES أكثر تفضيلًا) يعتمد على التقارب (الالتصاق) من 2 لبعضهما البعض. وعلى الرغم من أننا & rsquore نفترض أنه يمكنك * فقط الانتقال إلى ES- & gtEP (وليس العكس) & ndash لا يعني ذلك & rsquot أنك * ستقوم * بإجراء هذا التغيير. إذا كنت تفكر في أشياء من قبيل الصدفة (احتماليًا) ، في كل مرة تصطدم ركيزة بإنزيم ، يكون لديها فرصة للالتصاق وفي كل مرة تلتصق بها فرصة للتحول إلى منتج. تعتمد سرعة حدوث التفاعل على:

  • مدى احتمالية تصادم E & amp S (يعتمد على تركيزاتهم وكمية الطاقة لديهم)
  • مدى احتمالية التصاق E & amp S (يعتمد على ثباتهما و ldquoaffinity & rdquo لبعضهما البعض)
  • مدى احتمالية تحويل S (يعتمد على مدى ارتفاع حاجز التنشيط ومدة بقاء الركيزة و rsquos عالقة هناك حتى تتمكن من المحاولة & ldquokeep & rdquo)

لديك أيضًا خطوة التحرير ، ولكن ، باستثناء بعض الحالات الغريبة ، لا تكون هذه & rsquos عادةً عبارة عن تأخير ، لذلك نقوم & rsquoll بدمج خطوات التغيير والإصدار في ES - & gt E + P. لذا لدينا الآن خطوتان ، ربط (E + S ⇌ ES) & change/release (ES -> E + S) and each of these can happen at different speeds

We can give each step a rate constant, k. It&rsquos &ldquoconstant&rdquo in terms of it not being affected by concentrations because it&rsquos an inherent property of the molecules, but it *is* affected by differences in the environment (pH, etc.) so it&rsquos specific for a specific reaction under specific conditions.

So, how many sticks could a stick-snapper snap if a stick-snapper could snap sticks? To &ldquoanswer&rdquo this let&rsquos turn to Michaelis-Menten kinetics.

Say you want to figure out how fast a snapper can snap sticks &ndash if you took a single stick-snapper, give her some sticks, set a timer for 60 seconds, then counted how many sticks she snapped, you could divide that by the time to get sticks snapped per second per snapper. This is equivalent to a kinetic constant called kcat (aka &ldquoturnover number&rdquo) which tells you how many substrate molecules a single enzyme can convert to product per unit time (usually seconds) &ndash as long as there were enough sticks!

If you have a huge excess of sticks, (S >>>> E), you don&rsquot have to worry about running out, so the speed you observe isn&rsquot affected by [S] (concentration of substrate) and each enzyme molecule can work at kcat (each time the snapper snaps a stick there&rsquos another stick there to snap). But if you don&rsquot have a big excess, the substrate all gets used up, so it can only work its fastest in the very beginning of the reaction, right after you mix E & S.

Well, not quite *right* at the beginning. At the very very beginning (we&rsquore usually talking the first couple milliseconds) you have to fill up the enzymes &ndash the snapper has to grab their first stick, so you have a burst of ES formation, but they haven&rsquot had time to snap the sticks yet so product formation starts slow thanks to this lag as the snappers snatch sticks. We call this brief start-up phase the PRE-STEADY STATE.

As the name implies, it&rsquos followed by the STEADY STATE &ndash and this is where kinetic measurements are usually taken. In fact, in Michaelis-Menten kinetics we make a &ldquosteady state assumption&rdquo &ndash basically we assume that ES is at equilibrium &ndash you know how I said E+S⇌ES was reversible &ndash well, equilibrium is where the *rates* of the forward (E+S -> ES) & reverse (ES -> E+S) reactions are the same &ndash this doesn&rsquot mean that you have the same amount of S bound as unbound, it just means that the amount that&rsquos bound vs. unbound isn&rsquot changing (for every snapper that drops a stick another snapper picks one up).

Initially none was bound and in the pre-steady state the ES vs. E+S was changing as S now had the option of binding. But eventually you reach a dynamic equilibrium where, for every S that gets released or converted, another one binds. This is usually reached within microseconds & is what you measure when you measure the &ldquoinitial velocity&rdquo (vo)

But it can only bind if there&rsquos still S left to bind! And S isn&rsquot just binding &ndash it&rsquos also &ldquodissappearing&rdquo because it gets converted into products (and you can&rsquot snap an already snapped stick!). So you enter the POST-STEADY STATE where the substrate starts getting used up, fewer ES complexes can form (poor snappers left stickless) and less product can form

kcat was looking at a a single snapper &ndash but it&rsquos not easy to measure a single enzyme molecule because these guys are really tiny and you usually have a ton of them &ndash so instead of dealing with single molecules you&rsquore dealing with mols of molecules. The mol is the biochemist&rsquos &ldquodozen&rdquo &ndash it just means 6.02×10^23 of something.

So now we can imagine a ton of identical snappers, and the amount of sticks snapped depends on how well each snapper can snap sticks (kcat) AND how many snappers there are (enzyme concentration, [E]).

Instead of finding the maximum rate per snapper, you first find the maximum velocity of product formation (Vmax) for a group of snappers, and then you take the # of snappers into account.

Vmax = kcat[E]o, where [E]o is enzyme concentration

But &ldquoturnover rate&rdquo isn&rsquot all you care about. How good of a grip does the snapper have on the stick? Is it really a good match? When you have way more substrate than enzyme, the enzyme&rsquos constantly getting bombarded with substrate, so even if it doesn&rsquot like the substrate that much it&rsquos still bound most of the time because every time it lets go there&rsquos another substrate molecule waiting to jam itself in. So you can&rsquot tell if the substrate is actually a really good match for the enzyme.

But if you have lower substrate concentrations, if an enzyme releases a substrate molecule it&rsquos less likely to quickly find another molecule to collide with. So, when those rarer collisions do occur stickiness will matter more &ndash if they don&rsquot stick they&rsquoll have to wait for another one &ndash and you&rsquoll have to wait for product.

How do we take this into account when &ldquoscoring&rdquo enzymes &ndash enter the MICHAELIS-MENTEN CONSTANT (Km). I&rsquom gonna derive this in the pics for you so you can see how it comes from the rate constants and concentrations (sorry for sloppy formatting &ndash I&rsquom tired). Km is the substrate concentration at which product formation is at 1/2 it&rsquos maximal speed (so 1/2 Vmax).

You usually find it by measuring Vo (that initial rate of product formation) at multiple concentrations of the substrate (another chance to use those serial dilutions!). Then you plot substrate concentration on the horizontal axis & reaction rate on the vertical axis. Do this and (often) you&rsquoll get a ,- like curve &ndash a parabola that starts steep and then plateaus. Enzymes that give curves like this obey Michaelis-Menten kinetics.

It starts steep (but slow) because at there&rsquos more than enough enzyme to quickly change all the substrate into product but then substrate runs out (too many snappers, too few sticks) But as the substrate concentration increases, the enzyme gets saturated &ndash each enzyme is working its hardest, but it can only go so fast &ndash the enzyme becomes limiting (too many sticks, too few snappers). The height at which the curve plateaus is called the maximum velocity (Vmax) and the substrate concentration at which the curve gets halfway to Vmax is called the Km.

This Vmax depends on enzyme concentration (which is why we adjust it to get kcat), but Km doesn&rsquot depend on enzyme concentration, just on how well the enzyme likes the substrate. It&rsquos not quite this simple, but, in general terms & typical cases

lower Km -> better binder (higher affinity for substrate)

higher Km -> worse binder (lower affinity for substrate)

higher kcat -> better changer

lower kcat -> worse changer

If you want a good idea about how &ldquogood&rdquo an enzyme is overall for a particular substrate, you need to know how well it binds substrate & how well it changes it. So you combine those 2 measures to get another value, the &ldquospecificity constant&rdquo (aka &ldquocatalytic efficiency&rdquo) which = kcat/Km

You know how I said &ldquosometimes&rdquo you&rsquoll get a parabola? Well, other times you&rsquoll have enzymes where when you make that graph you&rsquoll get an S-shaped curve. This usually implies that you have an &ldquoAllosteric enzyme&rdquo &ndash allostery is where something happens somewhere on the molecule that changes something elsewhere on the molecule. Allosteric enzymes usually have multiple active sites and when substrate binds one of them it makes it easier for the other active sites to bind substrate, so you get cooperativity and see a switch-like transition.

Maud Menten & Leonor Michaelis published their formula in 1913. Maud was a pretty amazing scientist &ndash Born in Canada in 1879, Maud became one of that country&rsquos first female medical doctors, but there were limited opportunities in Canada for a woman to pursue a research career, so she moved to the US, where she worked at the Rockefeller Institute, researching the effects of radium on tumors, before emigrating to Germany to work with Michaelis. After her groundbreaking work there, she moved back to the US to obtain a PhD at the University of Chicago and went on to work as a professor and pathologist at the University of Pittsburgh and a research fellow at the British Columbia Medical Research Institute. Menten also had a full life outside of the lab &ndash in addition being a brilliant biochemist and histologist, she was also a skilled musician and artist and she spoke 6 languages! Menten passed away in 1960, but her name will forever be synonymous with enzyme kinetics.


Is it possible to derive the Michaelis-Menten equation under conditions where the product formation is reversible - Biology

The Michaelis-Menten model (1) is the one of the simplest and best-known approaches to enzyme kinetics. It takes the form of an equation relating reaction velocity to substrate concentration for a system where a substrate س binds reversibly to an enzyme ه to form an enzyme-substrate complex ES, which then reacts irreversibly to generate a product ص and to regenerate the free enzyme ه. This system can be represented schematically as follows:

The Michaelis-Menten equation for this system is:

هنا، الخامسالأعلى represents the maximum velocity achieved by the system, at maximum (saturating) substrate concentrations. كم (the Michaelis constant sometimes represented as كس instead) is the substrate concentration at which the reaction velocity is 50% of the الخامسالأعلى. [س] is the concentration of the substrate س.

This is a plot of the Michaelis-Menten equation s predicted reaction velocity as a function of substrate concentration, with the significance of the kinetic parameters الخامسالأعلى و كم graphically depicted.

The best derivation of the Michaelis-Menten equation was provided by George Briggs and J.B.S. Haldane in 1925 (2), and a version of it follows:

For the scheme previously described, كتشغيل is the bimolecular association rate constant of enzyme-substrate binding كإيقاف is the unimolecular rate constant of the ES complex dissociating to regenerate free enzyme and substrate and كقط is the unimolecular rate constant of the ES complex dissociating to give free enzyme and product ص.

Note that كتشغيل has units of concentration -1 time -1 , and كإيقاف و كقط have units of time -1 . Also, by definition the dissociation binding constant of the ES complex, كد اعطي من قبل كإيقاف/كتشغيل (and so has units of concentration).

Once these rate constants have been defined, we can write equations for the rates of change of all the chemical species in the system:

The last of these equations describing the rate of change of the ES complex is the most important for our purposes. في معظم الأنظمة ، يكون ملف ES concentration will rapidly approach a steady-state that is, after an initial burst phase, its concentration will not change appreciably until a significant amount of substrate has been consumed. هذه steady-state approximation is the first important assumption involved in Briggs and Haldane s derivation. This is also the reason that well-designed experiments measure reaction velocity only in regimes where product formation is linear with time. As long as we limit ourselves to studying مبدئي reaction velocities, we can assume that [ES] is constant:

In order to determine the rate of product formation (د[ص]/د = كقط[ES]), we need to rearrange the equation above to calculate [ES]. We know that the free enzyme concentration [ه] is equal to the total enzyme concentration [هتي] minus [ES]. Making these substitutions gives us:

We now make a couple of substitutions to arrive at the familiar form of the Michaelis-Menten equation. حيث الخامسالأعلى is the reaction velocity at saturating substrate concentration, it is equal to كقط [ES] when [ES] = [هتي]. We also define كم in terms of the rate constants as follows:

Note that [س] here represents the free substrate concentration, but typically is assumed to be close to the total substrate concentration present in the system. This second assumption is the free ligand approximation, and is valid as long the total enzyme concentration is well below the كم النظام. If this condition is not met (for instance, with a very high-affinity substrate), then the quadratic (or Morrison ) equation must be used instead.

المقارنة كم [= (كإيقاف + كقط)/كتشغيل] and كد [= كإيقاف/كتشغيل], it is obvious that كم must always be greater than كد. Michaelis and Menten assumed that substrate binding and dissociation occurred much more rapidly than product formation (كقط << كإيقاف، ال rapid equilibrium approximation), and that therefore the كم would be very close to the كد. أكبر كقط is relative to كإيقاف, the greater the difference between كد و كم. Briggs and Haldane made no assumptions about the relative values of كإيقاف و كقط, and so Michaelis-Menten kinetics are a special case of Briggs-Haldane kinetics. The opposite extreme, where كقط >> كإيقاف, is called Van Slyke-Cullen behavior (3).


Applying the law of mass action, which states that the rate of a reaction is proportional to the product of the concentrations of the reactants, gives a system of four non-linear ordinary differential equations that define the rate of change of reactants with time t :

In this mechanism, the enzyme E is a catalyst, which only facilitates the reaction, so its total concentration, free plus combined, [ E ] + [ E S ] = [ E ] 0 > is a constant. This conservation law can also be obtained by adding the second and third equations above.

Equilibrium approximation

In their original analysis, Michaelis and Menten assumed that the substrate is in instantaneous chemical equilibrium with the complex, and thus k f [ E ] [ S ] = k r [ E S ] [E][S]=k_[ES]> . Combining this relationship with the enzyme conservation law, the concentration of complex is

Quasi-steady-state approximation

An alternative analysis of the system was undertaken by British botanist G. E. Briggs and British geneticist J. B. S. Haldane in 1925. They assumed that the concentration of the intermediate complex does not change on the time-scale of product formation — known as the quasi-steady-state assumption or pseudo-steady-state-hypothesis. Mathematically, this assumption means k f [ E ] [ S ] = k r [ E S ] + k c a t [ E S ] [E][S]=k_[ES]+k_ >[ES]> . Combining this relationship with the enzyme conservation law, the concentration of complex is

Assumptions and limitations

The first step in the derivation applies the law of mass action, which is reliant on free diffusion. However, in the environment of a living cell where there is a high concentration of proteins, the cytoplasm often behaves more like a gel than a liquid, limiting molecular movements and altering reaction rates. Whilst the law of mass action can be valid in heterogeneous environments, it is more appropriate to model the cytoplasm as a fractal, in order to capture its limited-mobility kinetics.

By contrast, the Briggs–Haldane quasi-steady-state analysis is valid if

Thus it holds if the enzyme concentration is much less than the substrate concentration. Even if this is not satisfied, the approximation is valid if K m > is large.

It is also important to remember that, while irreversibility is a necessary simplification in order to yield a tractable analytic solution, in the general case product formation is not in fact irreversible. The enzyme reaction is more correctly described as

In general, the assumption of irreversibility is a good one in situations where one of the below is true:
1. The concentration of substrate(s) is very much larger than the concentration of products:

This is true under standard في المختبر assay conditions, and is true for many في الجسم الحي biological reactions, particularly where the product is continually removed by a subsequent reaction.
2. The energy released in the reaction is very large, that is

In situations where neither of these two conditions hold (that is, the reaction is low energy and a substantial pool of product(s) exists), the Michaelis–Menten equation breaks down, and more complex modelling approaches explicitly taking the forward and reverse reactions into account must be taken to understand the enzyme biology.


Rapid Equilibrium

Consider the following reaction mechanism for the enzyme-catalyzed conversion of substrate (S) into product (P) (we assume that the catalyzed rate is much greater than the noncatalyzed rate.)

As we did for the derivation of the equations for the facilitated transport reactions under rapid equilibrium conditions, this derivation is based on the assumption that the relative concentrations of (S), (E), and (ES) can be determined by the dissociation constant, (K_s), for the interactions and the concentrations of each species during the early part of the reaction (i.e., under initial rate conditions). Assume also the (S gg E_o). Remember that under these conditions, (S) does not change much with time. Is this a valid assumption? Examine the mechanism shown above. (S) binds to (E) with a second order rate constant (k_1).

(ES) has two fates: it can dissociate with a first order rate constant (k_2) to (S + E), or it can be converted to product with a first order rate constant of (k_3) to give (P + E). If we assume that (k_2 gg k_3) (i.e. that the complex falls apart much more quickly than S is converted to P), then the relative ratios of (S), (E), and (ES) can be described by (K_s). Alternatively, you can think about it this way. If (S) binds to (E), most of (S) will dissociate, and a small aM_ount will be converted to (P). If it does, then (E) is now free, and will quickly bind (S) and reequilibrate since the most likely fate of bound (S) is to dissociate, not be converted to (P) (since (k_3 ll k_2)). This also makes sense if you consider that the physical step characterized by (k_2) is likely to be quicker than the chemical step, characterized by (k_3). Hence the following assumptions have been used:

We would like to derive equations which show the velocity v as a function of the initial substrate concentration, (S_o), (assuming that (P) is negligible over the time course of measuring the initial velocity). Also assume that the (v_ gg v_). In contrast to the first-order reaction of (S) to (P) in the absence of E, (v) is not proportional to (S_o), but rather to (S_) as we described in class with facilitated diffusion (flux proportional to AR, not free A). وبالتالي،

[ v = ext , [ES] = k_3 [ES] label<1>]

where (v) is the velocity. How can we calculate ([ES]) when we know ([S]) (which is equal to (S_o)) and Etot (which is (E_o))? Let us assume that S is much greater than E, as is the likely biological case. We can calculate ([ES]) using the following equations and the same procedure we used for the derivation of the binding equation, which gives the equation below:


Path Y - External Food and Nutrients Supply

By rearranging MM equation (18), س = F(الخامس)

We can deduce the differential of ([S]) with respect to الخامس, (frac) , which is equal را ر according to equation (21), thus we can obtain specific (_^ <^>) and (_^ <^>) values from

Then, the reaction rate is,

Both (_^ <^>) and (_^ <^>) at time ر can be derived from equation (41) (Supplementary Method 4, Tables S6 and S18). We find that, similar to the earlier derivation, the differential and integral can be found precisely. For example, we sought to verify by multiplication of derivatives to determine exact values of (frac

) (Tables S7 and S19).

As before, we used equation (15), equation (14), and equation (13) to obtain the amounts of initial enzymes ([_<0>^ <^>]) , enzyme complexes [ES″], and [ه″] (Tables S8 and S20, Figs S4, S9 and S11). The derived values were based on ك2 و ك1 القيم. Notably, (_<1>^ <^>) did differ for each application, since derived ( >_) were different. In some cases, we find that الخامس″ ≠ الخامس و الخامس″ < الخامس. We get values of [ه′] different to [ه″] in all cases, because the latter could have been another set of enzymes produced from the nutrient/feed of substrate rather than the enzymes governed by the “body” mass, the entity. Now, we can combine both [ه′] and [ه″] as well as [ES′] and [ES″].


Enzyme Kinetics – Michaelis–Menten kinetics

In 1913, Linor Michaelis (1875-1949) and Maud Menten (1879-1960) put forward the enzyme-substrate complex theory. According, the enzyme (E) combines with the substrate(S), to form an enzyme-substrate(ES) complex, which immediately breaks down to the Enzyme and the Product (P).

The above reactions are assumed to be reversible. هنا k1, k2, k3, k4 are specific rate constants. Michelis-Menton equation is the rate equation for the reaction catalyzed by an enzyme having a single substrate. In this derivation that the Brigg’s و Halden.

  • Molar Concentration of [E] =Concentration of free (or) free (or) uncombined enzyme
  • [ES]=Concentration of Enzyme-Substrate complex
  • [Et]=Total enzyme concentration (the sum of the free and combined forms)
  • [S]=Concentration of Substrate
  • [P]=Concentration of Product

The substrate concentration is assumed to be far greater than the concentration of Enzyme [E]. So that the amount of substrate-bound by the enzyme at any given time is negligible. Compared with the total concentration of [S].

Systematic studies of the effect of substrate concentration on ionic enzyme activity began performing in the late nineteenth century.

Already in 1882, the concept of an enzyme-substrate complex as an intermediary in the process of enzymatic catalysis was introduced. In 1913, Leonor Michaelis (pictured left) and Maud Menten (pictured right) developed this theory and proposed a rate equation that explains the kinetic behavior of the enzyme.

To explain the observed relation between the initial velocity (v0) and the initial substrate concentration ([S]0) Michaelis and Menten proposed that the enzymatically catalyzed reactions occur in two phases :

  • The first phase: In the first step , the enzyme-substrate complex is formed.
  • Second Phase: The enzyme-substrate complex results in the formation of the product, releasing the free enzyme.

In this scheme, k 1 , k 2 and k 3 are constants each individual kinetics of the process and also are called microscopic rate constants . Accordingly, we can say that:

One can distinguish between free enzyme (E) and attached to the enzyme substrate (S), so that the total concentration of enzyme , [E تي ], (which is constant throughout the reaction) is:

As [E] = [ET] – [ES], it follows that:

This kinetic model adopts the steady-state hypothesis , according to which the concentration of the enzyme-substrate complex is small and constant throughout the reaction (Figure, right).

Therefore, the rate of formation of the enzyme-substrate complex (v 1 ) is equal to that of its dissociation (v 2 + v 3 ):

Further, as [ES] is constant, the rate of formation of the products is constant:

As v 1 = v 2 + v 3 , we can say that:

k 1 [S] [E T ] – k 1 [S] [ES] = k 2 [ES] + k 3 [ES]

Solving for [ES], is that: being km=(k2+k3) / k1, where the expression (k 2 + k 3 ) / k 1 has been replaced by K M , or Michaelis-Menten constant .

This link gives us an explanation of the reasons that make the K M an important kinetic parameter .

Thus, at steady state, the rate of formation of the product is:

For any enzyme, [E reaction T], k 3 and KM are constants. Let us consider two extreme cases:

  • A small substrate concentrations ([S] << KM ) = v (k3[ET] /KM) [S]. As the terms in parentheses are constant, they can be included in a new constant, kobs, so that the expression is reduced to v = k obs [S], so that the reaction is a first-order kinetic process.
  • A high substrate concentrations ([S] >> KM), v = k 3 [E T ] . The reaction rate is independent of the concentration of the substrate, and therefore, the reaction is a zero-order kinetic process. In addition, both k 3 and [E T ] are constant and allows us to define a new parameter, the maximum reaction rate (V max ): V max = k 3 [E T ], which is the rate that would be achieved when all available enzyme bound to the substrate is at.

If we introduce the parameter V max in the general rate equation (boxed formula above), we obtain the best known of the Michaelis-Menten expression :

There are enzymes that do not obey the Michaelis-Menten equation. It says it’s not Michaelian kinetics. This happens with Allosteric enzymes, whose graph v vs. [S] is not hyperbole, but a sigmoid (figure right). The Sigmoidal kinetics, small variations in [S] in a critical area (near KM ) results in large variations in the reaction rate.


Chemical mechanism

An important goal of measuring enzyme kinetics is to determine the chemical mechanism of an enzyme reaction, i.e., the sequence of chemical steps that transform substrate into product. The kinetic approaches discussed above will show at what rates intermediates are formed and inter-converted, but they cannot identify exactly what these intermediates are.

Kinetic measurements taken under various solution conditions or on slightly modified enzymes or substrates often shed light on this chemical mechanism, as they reveal the rate-determining step or intermediates in the reaction. For example, the breaking of a covalent bond to a hydrogen atom is a common rate-determining step. Which of the possible hydrogen transfers is rate determining can be shown by measuring the kinetic effects of substituting each hydrogen by deuterium, its stable isotope. The rate will change when the critical hydrogen is replaced, due to a primary kinetic isotope effect, which occurs because bonds to deuterium are harder to break then bonds to hydrogen. It is also possible to measure similar effects with other isotope substitutions, such as 13 C/ 12 C and 18 O/ 16 O, but these effects are more subtle.

Isotopes can also be used to reveal the fate of various parts of the substrate molecules in the final products. For example, it is sometimes difficult to discern the origin of an oxygen atom in the final product since it may have come from water or from part of the substrate. This may be determined by systematically substituting oxygen's stable isotope 18 O into the various molecules that participate in the reaction and checking for the isotope in the product. The chemical mechanism can also be elucidated by examining the kinetics and isotope effects under different pH conditions, by altering the metal ions or other bound cofactors, by site-directed mutagenesis of conserved amino acid residues, or by studying the behaviour of the enzyme in the presence of analogues of the substrate(s).


Henri, V. Théorie générale de l’action de quelques diastases. C. R. Acad. علوم. Paris 135, 916–919 (1902).

Henri, V. Lois générales de l’action des diastases 1–129 (Hermann, Paris, 1903).

Michaelis, L. & Menten, M. L. Die Kinetik der Invertinwirkung. بيوتشيم. Z. 49, 333–369 (1913).

Popova, S. V. & Sel’kov, E. E. Generalization of the model of Monod, Wyman and Changeux for the case of reversible monosubstrate reactions. FEBS ليت. 53, 270–273 (1975).

Lomholt, M. A., Urbakh, M., Metzler, R. & Klafter, J. Manipulating Single Enzymes by an External Harmonic Force. فيز. القس ليت. 98, 168302 (2007).

Briggs, G. E. & Haldane, J. B. S. A note on the kinematics of enzyme action. بيوتشيم. J. 19, 338–339 (1925).

Rao, C. V. & Arkin, A. P. Stochastic chemical kinetics and the quasi-steady-state assumption: Application to the Gillespie algorithm. J. كيم. فيز. 118, 4999–5010 (2003).

Grima, R. Noise-induced breakdown of the Michaelis-Menten equation in steady-state conditions. فيز. القس ليت. 102, 218103 (2009).

Bartholomay, A. F. A stochastic approach to statistical kinetics with applications to enzyme kinetics. Biochemistry 1, 223–230 (1962).

Kou, S. C., Cherayil, B. J., Min, W., English, B. P. & Xie, X. S. Single-molecule Michaelis-Menten equations. J. فيز. تشيم. B 109, 19068–19081 (2005).

English, B. P. et al. Ever-fluctuating single enzyme molecules: Michaelis-Menten equation revisited. علم الطبيعة. بيول. 2, 87–94 (2006).

Moffitt, J. R., Chemla, Y. R. & Bustamante, C. Mechanistic constraints from the substrate concentration dependence of enzymatic fluctuations. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 107, 15739–15744 (2010).

Grima, R., Walter, N. G. & Schnell, S. Single-molecule enzymology à la Michaelis-Menten. FEBS J. 281, 518–530 (2014).

Stéfanini, M. O., McKane, A. J. & Newman, T. J. Single enzyme pathways and substrate fluctuations. Nonlinearity 18, 1575–1595 (2005).

Smeach, S. C. & Smith, W. A comparison of stochastic and deterministic models for cell membrane transport. J. Theor. بيول. 42, 157–167 (1973).

Qian, H. & Elson, E. L. Single-molecule enzymology: stochastic Michaelis-Menten kinetics. بيوفيز. تشيم. 101–102, 565–576 (2002).

Molski, A. Single-molecule Michaelis-Menten kinetics: Effect of substrate fluctuations. تشيم. فيز. 352, 277–280 (2008).

McAdams, H. H. & Arkin, A. Stochastic mechanisms in gene expression. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 94, 814–819 (1997).

Thattai, M. & van Oudenaarden, A. Intrinsic noise in gene regulatory networks. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 98, 8614–8619 (2001).

Swain, P. S., Elowitz, M. B. & Siggia, E. D. Intrinsic and extrinsic contributions to stochasticity in gene expression. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 99, 12795–12800 (2002).

Paulsson, J. Models of stochastic gene expression. فيز. Life Rev. 2, 157–175 (2005).

Kaern, M., Elston, T. C., Blake, W. J. & Collins, J. J. Stochasticity in gene expression: from theories to phenotypes. نات. القس جينيه. 6, 451–64 (2005).

Toner, D. L. K. & Grima, R. Effects of bursty protein production on the noisy oscillatory properties of downstream pathways. علوم. Rep. 3, 2438 (2013).

Lloyd-Price, J., Tran, H. & Ribeiro, A. S. Dynamics of small genetic circuits subject to stochastic partitioning in cell division. J. Theor. بيول. 356, 11–19 (2014).

Kallenberg, O. Foundations of Modern Probability 49 (Springer, New York, 2002).

Apostol, T. M. Calculus 278–279 (John Wiley & Sons, New York, 1967).

Berg, O. G., Winter, R. B. & von Hippel, P. H. How do genome-regulatory proteins locate their DNA target sites? Trends Biochem. علوم. 7, 52–55 (1982).

von Hippel, P. H. & Berg, O. G. Facilitated taget location in biological systems. J. بيول. تشيم. 264, 675–678 (1989).

Slutsky, M. & Mirny, L. Kinetics of protein-DNA interaction: facilitated target location in sequence-dependent potential. بيوفيز. J. 87, 4021–4035 (2004).

Gowers, D. M., Wilson, G. G. & Halford, S. E. Measurement of the contributions of 1D and 3D pathways to the translocation of a protein along DNA. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 102, 15883–15888 (2005).

Elf, J., Li, G. W. & Xie, X. S. Probing transcription factor dynamics at the single-molecule level in a living cell. Science 316, 1191–1194 (2007).

Koslover, E. F., Diaz de la Rosa, M. A. & Spakowitz, A. J. Theoretical and computationsl modeling of target-site search kinetics في المختبر و في الجسم الحي. بيوفيز. J. 101, 856–865 (2011).

Bauer, M. & Metzler, R. في الجسم الحي facilitated diffusion model. PLoS ONE 8, e53956 (2013).

Bauer, M., Rasmussen, E. S., Lomholt, M. A. & Metzler, R. Real sequence effects on the search dynamics of transcription factors on DNA. علوم. Rep. 5, 10072 (2015).

Pulkkinen, O. & Metzler, R. Distance Matters: The Impact of Gene Proximity in Bacterial Gene Regulation. فيز. القس ليت. 110, 198101 (2013).

von Hippel, P., Revzin, A., Gross, C. A. & Wang, A. C. Non-specific DNA binding of genome regulating proteins as a biological control mechanism: I. The lac operon: equilibrium aspects. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 71, 4808–4812 (1974).

Gerland, U., Moroz, J. D. & Hwa, T. Physical constraints and functional characteristics of transcription factor-DNA interaction. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 99, 12015–12020 (2002).

Stormo, G. D. & Fields, D. S. Specificity, free energy and information content in protein-DNA interactions. Trends Biochem. علوم. 23, 109–113 (1998).

Bakk, A. & Metzler, R. في الجسم الحي non-specific binding of λ CI and Cro repressors is significant. FEBS ليت. 563, 66–68 (2004).

Goel, N. S. & Richter-Dyn, N. Stochastic models in biology. 1–284 (Academic Press, New York, 1974).

Shahrezaei, V. & Swain, P. S. Analytical distributions for stochastic gene expression. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 105, 17256–17261 (2008).

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2. 40 (John Wiley & Sons, New York, 1971).

Saiz, L., Rubi, J. M. & Vilar, M. G. Inferring the في الجسم الحي looping properties of DNA. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 102, 17642–17645 (2005).

Thanbichler, M., Wang, S. C. & Shapiro, L. The bacterial nucleoid: A highly organized and dynamic structure. J. الخلية Biochem. 96, 506–521 (2005).

Kolesov, G., Wunderlich, Z., Laikova, O. N., Gelfand, M. S. & Mirny, L. A. How gene order is influenced by the biophysics of transcription regulation. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 104, 13948–13953 (2007).

van den Broek, B., Lomholt, M. A., Kalisch, S. M. J., Metzler, R. & Wuite, G. J. L. How DNA coiling enhances target localization by proteins. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 105, 15738–15742 (2008).

Lomholt, M. A., van den Broek, B., Kalisch, S. M. J., Wuite, G. & Metzler, R. Facilitated diffusion with DNA coiling Proc. ناتل. أكاد. علوم. USA 106, 8204–8208 (2009).

Bénichou, O., Chevalier, C., Meyer, B. & Voituriez, R. Facilitated diffusion of proteins on chromatin. فيز. القس ليت. 106, 038102 (2011).

Cottrell, D., Swain, P. S. & Tupper, P. F. Stochastic branching-diffusion models for gene expression. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 109, 9699–9704 (2012).

Yu, J., Xiao, J., Ren, X., Lao, K. & Xie, X. S. Probing gene expression in live cells, one protein molecular at a time. Science 311, 1600–1603 (2006).

Hammar, P. et al. Direct measurement of transcription factor dissociation excludes a simple operator occupancy model for gene regulation. طبيعة الجينات. 46, 405–408 (2014).

Sinitsyn, N. A. & Nemenman, I. Time-dependent corrections to effective rate and event statistics in Michaelis-Menten kinetics. IET Syst. بيول. 4, 409–415 (2010).

Levine, E. & Hwa, T. Stochastic fluctuations in metabolic pathways. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 104, 9224–9229 (2007).

Serfozo, R. Introduction to Stochastic Networks. 206–229 (Springer, New York, 1999).

Pirone, J. R. & Elston, T. C. Fluctuations in transcription factor binding can explain the graded and binary responses observed in inducible gene expression. J. Theor. بيول. 226, 111–121 (2004).

Min, W. et al. When Does the Michaelis-Menten Equation Hold for Fluctuating Enzymes? J. فيز. تشيم. B 110, 20093–20097 (2006).

Reuveni, S., Urbakh, M. & Klafter, J. Role of substrate unbinding in Michaelis-Menten enzymatic reactions. بروك. ناتل. أكاد. علوم. USA 111, 4391–4396 (2014).

Min, W., Luo, G., Cherayil, B. J., Kou, S. C. & Xie, X. S. Observation of a power-law memory kernel for fluctuations within a single protein molecule. فيز. القس ليت. 94, 198302 (2005).

Min, W. et al. Fluctuating Enzymes: Lessons from Single-Molecule Studies. Acc. تشيم. الدقة. 38, 923–931 (2005).

Di Rienzo, C., Piazza, V., Gratton, E., Beltram, F. & Cardarelli, F. Probing short-range protein Brownian motion in the cytoplasm of living cells. Nature Comm. 5, 5891 (2014).

Reverey, J. F. et al. Superdiffusion dominates intracellular particle motion in the supercrowded space of pathogenic Acanthamoeba castellanii. علوم. Rep. 5, 11690 (2015).

Gillespie, D. T. Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions. J. فيز. تشيم. 81, 2340–2361 (1977).


شاهد الفيديو: اشتقاق معادلة آينشتاين للجاذبية بأبسط طريقة! 3. يوسف البناي (ديسمبر 2022).